Auksinis santykis yra proporcija, kuri nuo seniausių laikų buvo laikoma tobuliausia ir harmoningiausia. Tai yra daugelio senovinių statinių, nuo statulų iki šventyklų, pagrindas ir yra labai paplitęs gamtoje. Tuo pačiu ši proporcija išreiškiama stebėtinai elegantiškomis matematinėmis konstrukcijomis.
Nurodymai
1 žingsnis
Auksinė proporcija apibrėžiama taip: tai yra toks segmento padalijimas į dvi dalis, kad mažesnė dalis nurodo didesnę lygiai taip pat, kaip didesnė dalis - visą segmentą.
2 žingsnis
Jei viso segmento ilgis laikomas 1, o didesnės dalies ilgis laikomas x, tada ieškoma proporcija bus išreikšta lygtimi:
(1 - x) / x = x / 1.
Padauginę abi proporcijos puses iš x ir perkėlę sąlygas, gausime kvadratinę lygtį:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
3 žingsnis
Lygtis turi dvi realias šaknis, kurių natūraliai mus domina tik teigiamas dalykas. Jis lygus (√5 - 1) / 2, kuris yra apytiksliai lygus 0, 618. Šis skaičius išreiškia auksinį santykį. Matematikoje tai dažniausiai žymima raide φ.
4 žingsnis
Skaičius φ turi keletą puikių matematinių savybių. Pavyzdžiui, net iš pirminės lygties matyti, kad 1 / φ = φ + 1. Iš tiesų, 1 / (0, 618) = 1, 618.
5 žingsnis
Kitas būdas apskaičiuoti auksinį santykį yra naudoti begalinę trupmeną. Pradėdami nuo bet kurio savavališko x, galite nuosekliai sukurti trupmeną:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
ir kt.
6 žingsnis
Norint palengvinti skaičiavimus, ši dalis gali būti pateikiama kaip kartotinė procedūra, pagal kurią apskaičiuojant kitą žingsnį reikia pridėti vieną prie ankstesnio veiksmo rezultato ir padalyti iš gauto skaičiaus. Kitaip tariant:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Šis procesas konverguoja ir jo riba yra φ + 1.
7 žingsnis
Jei pakeisime abipusio skaičiavimą kvadratinės šaknies išskyrimu, tai yra, atliksime iteracinę kilpą:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), tada rezultatas liks nepakitęs: neatsižvelgiant į iš pradžių pasirinktą x, iteracijos sutampa su reikšme φ + 1.
8 žingsnis
Geometriniu požiūriu auksinį santykį galima sukonstruoti naudojant įprastą penkiakampį. Jei joje nupiešime dvi susikertančias įstrižas, tada kiekvienas iš jų griežtai padalins aukso santykiu. Šis pastebėjimas, pasak legendos, priklauso Pitagorui, kurį taip sukrėtė rastas modelis, kad teisingą penkiakampę žvaigždę (pentagramą) jis laikė šventu dievišku simboliu.
9 žingsnis
Priežastys, kodėl būtent auksinis santykis žmogui atrodo harmoningiausias, nežinomos. Tačiau eksperimentai ne kartą patvirtino, kad tiriamieji, kuriems buvo nurodyta gražiausiai padalyti segmentą į dvi nelygias dalis, tai daro proporcijomis, labai artimomis auksiniam santykiui.
